ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МЕТРИКИ ПРИНЦИП

пусть области Dи Gлежат соответственно в плоскостях и и имеют каждая не менее чем по три граничные точки, пусть - функция, регулярная в Dи принимающая значения в G, и пусть и - линейные элементы в гиперболич. метрике областей D и G в точках соответственно и ; тогда справедливо неравенство

Равенство в какой-либо точке имеет место только в том случае, если в D, где функция конформно отображает область Dна круг , а функция конформно отображает круг Ена область G. Г. м. п. обобщает Шварца лемму на многосвязные области, в к-рых может быть определена гиперболич. метрика.

В формулировке Г. м. п. предположение регулярности функции f(z) в Dможет быть заменено более общим предположением: f(z) - аналитич. функция, определенная в Dкаким-либо своим элементом и продол-жимая в D по любому пути.

Этот же принцип можно сформулировать также относительно поведения гиперболич.длины кривых, гиперболич. расстояния или гиперболич. площади при указанном отображении. Именно, если L- спрямляемая кривая в D, то (в обозначениях статьи Гиперболическая метрика)

Если и - две точки области D, то Если В - область в D, то

В каждом из этих неравенств равенство достигается только в указанном выше случае.

Приведенный выше результат относительно гиперболич. расстояния показывает, что при отображении образ гиперболич. круга с центром в точке содержится в гиперболич. круге с центром в точке того же гиперболпч. радиуса.

Этот результат распространяет на случай многосвязных областей следующий факт теории конформного отображения (инвариантная форма леммы Шварца): при отображении круга регулярной в нем функцией в , гиперболич. расстояние между образами точек и круга Ене превосходит гиперболич. расстояния между самими точками и и равно этому расстоянию только в случае дробно-линейного преобразования круга Ена себя.

Г. м. п. следующим образом связан с Линделёфа принципом. Если области Dи G обладают функциями Грина и односвязны, то оба принципа совпадают. Если же Dодносвязна, a Gмногосвязна, то Г. м. п. дает более точную оценку области, в к-рой содержится образ гиперболич. круга в D, определяемого неравенством при отображении (где через обозначена функция Грина области Dс лога-рифмич. полюсом в точке ). Кроме того, Г. м. п. применим и тогда, когда нельзя говорить о принципе Линделёфа, напр., в случае области, обладающей по крайней мере тремя граничными точками, но не имеющей функции Грина. Г. В. Кузьмина.